Kliknij tutaj --> 🏙️ rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych ułamki okresowe

1. Zapis liczb w systemie rzymskim (2) 2. Liczby wymierne na osi liczbowej (2) 3. Rozwinięcia dziesiętne, przybliżanie i zaokrąglanie (2) 4. Dzielniki i wielokrotności. (1) 5. Działania na liczbach wymiernych (4) 6. Proporcjonalność (3) Powtórzenie przed klasówką (4) Zadania na temat Zadania na deser II. PROCENTY (13) 1. Rozdział 1 Dodawanie i odejmowanie. Rozdział 2 Mnożenie i dzielenie. Rozdział 3 Dziesiąte i setne. Rozdział 4 Ułamki zwykłe. Rozdział 5 Dzielniki i wielokrotności. Rozdział 6 Dostrzegamy prawidłowości. Rozdział 7 Rysowanie liczb Rozdział 8 Figury i kąty. Rozdział 9 Pole powierzchni i obwód figury. Korzystając z kalkulatora,zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb: ( ułamki ) 8/27 7/303 3 i 4/11 1 i 7/33 3 i 13/45 Uzasadnij,że każdy tych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. PS to / jest zamiast kreski ulamkowe umie podać, ile liczb spełnia podany warunek (R) umie obliczyć sumę wieloskładnikową (R) umie ustalić znak wyrażenia arytmetycznego zawierającego kilka liczb wymiernych (R) umie rozwiązać nietypowe zadanie tekstowe związane z dodawaniem i odejmowaniem liczb wymiernych (R-W) umie obliczyć potęgę liczby wymiernej (R) Kliknij tutaj, 👆 aby dostać odpowiedź na pytanie ️ 1.2 Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 1. Znajdź rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków. a) § = 5:8=? … Site De Rencontre Dans Le Doubs. 1. Liczby rzeczywiste Rozwinięcie dziesiętne liczby to zapis tej liczby w postaci ułamka dziesiętnego. Może być ono: skończone: 2{,}983, nieskończone okresowe: -8{,}989898... = -8{,}(98) (co czytamy jako -8 i 98 w okresie), nieskończone nieokresowe: 2{,}631841346.... Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Liczby wymierne mają rozwinięcia skończone lub nieskończone okresowe: -5 = -5{,}0 \frac{1}{2} = 0{,}5 2\frac{1}{9} = 2{,}(1) Aby zamienić liczbę całkowitą na ułamek dziesiętny, wystarczy dopisać do niej przecinek i 0. Na przykład liczba 3 to w rozwinięciu dziesiętnym 3{,}0. Aby uzyskać rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej niecałkowitej należy przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego i wykonać dzielenie (licznik przez mianownik). Jeśli wykonujemy dzielenie w słupku i od pewnego momentu uzyskujemy zapętlenie (cyfry po przecinku zaczynają się powtarzać), to oznacza to, że liczba ma rozwinięcie nieskończone okresowe. Przerywamy wtedy dzielenie i zapisujemy okres liczby w nawiasie po przecinku. Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych Liczby niewymierne mają rozwinięcia nieskończone nieokresowe: \pi = 3{,}1415926535897932384626433\ldots \sqrt{2} = 1{,}414213562373095\ldots Zamiana liczb niewymiernych na ułamki dziesiętne jest możliwa na kalkulatorze (wbudowana wartość liczby \pi, obliczenie pierwastka z 2). Należy pamiętać, że kalkulator ma skończoną liczbę miejsc i jeśli policzymy wartość \sqrt{2}, to otrzymamy tylko wartość przybliżoną. Na kalkulatorze z dwunastoma miejscami liczba \sqrt{2} jest przybliżona do jedenastu miejsc po przecinku: 1{,}41421356237, co zapisujemy jako: \sqrt{2}\approx 1{,}41421356237. bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ 0,2(6)}\) w postaci ułamka zwykłego. Problem stwarza mi cyfra \(\displaystyle{ 2}\) przed tą \(\displaystyle{ 6}\) w okresie. Jak powinienem postępować, aby otrzymać wynik? Próbowałem póki co zapisać w postaci \(\displaystyle{ 0,2666... = x}\) i teraz zaczyna się kłopot, gdyż gdyby nie było tej \(\displaystyle{ 2}\), to bym wymnożył obustronnie przez \(\displaystyle{ 10}\) i bym otrzymał prawidłowy wynik, a tak jak mówiłem mam problem z tą \(\displaystyle{ 2}\). Lbubsazob Użytkownik Posty: 4672 Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Gdańsk Podziękował: 124 razy Pomógł: 978 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: Lbubsazob » 3 paź 2011, o 17:57 Tu masz podobny przykład, tylko że liczba \(\displaystyle{ 2,3(4)}\): mat_61 Użytkownik Posty: 4615 Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Racibórz Pomógł: 866 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: mat_61 » 3 paź 2011, o 17:59 Wskazówka: pomnóż przez 10 oraz 100: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2,(6)=10x \\ 26,(6)=100x \end{cases}}\) ares41 Użytkownik Posty: 6499 Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Kraków Podziękował: 142 razy Pomógł: 922 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: ares41 » 3 paź 2011, o 18:01 A nie prościej po prostu: bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: bastun » 3 paź 2011, o 18:08 Lbubsazob pisze:Tu masz podobny przykład, tylko że liczba \(\displaystyle{ 2,3(4)}\): Dziękuję, wyszło. Tylko mam jeszcze jedno pytanie, możesz wytłumaczyć tą linijkę? \(\displaystyle{ \frac{31}{9}=10x \\ x= \frac{31}{90}}\) Co się tu stało, że jedynie mianownik się wymnożył? anna_ Użytkownik Posty: 16299 Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14 Płeć: Kobieta Podziękował: 29 razy Pomógł: 3235 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: anna_ » 3 paź 2011, o 18:10 Podzielono obie strony przez \(\displaystyle{ 10}\) bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: bastun » 3 paź 2011, o 20:38 Żeby nie zaczynać nowego tematu: przy kolejnym zadaniu mam problem. Zatem, muszę wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), spełniających równanie: \(\displaystyle{ xy - y + x + 1 = 0}\) Dotychczas moje zapiski wyglądają następująco: \(\displaystyle{ x(y+1)(y-1)=0\\(y+1)(x-1)=0}\) lecz jest to błędne, gdyż równania \(\displaystyle{ (y+1)}\) i \(\displaystyle{ (x-1)}\) po podstawieniu niewiadomych nie dają takich wyników jak w odpowiedzi do zadania. Proszę o wskazanie i wytłumaczenie mi błędu. anna_ Użytkownik Posty: 16299 Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14 Płeć: Kobieta Podziękował: 29 razy Pomógł: 3235 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: anna_ » 3 paź 2011, o 20:59 Nie powinno być czasem: \(\displaystyle{ xy - y + x - 1 = 0}\) bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: bastun » 3 paź 2011, o 21:01 Nie, dokładnie taki przykład jak podałem mam podane w zbiorze zadań. bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: bastun » 3 paź 2011, o 21:09 \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\y=-3\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\y=1\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=3\\y=-2\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1\\y=0\end{cases}}\) Wskazówka: Odejmij od obu stron równania \(\displaystyle{ 2}\) i rozłóż lewą stronę na czynniki. anna_ Użytkownik Posty: 16299 Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14 Płeć: Kobieta Podziękował: 29 razy Pomógł: 3235 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: anna_ » 3 paź 2011, o 21:13 \(\displaystyle{ xy - y + x + 1 = 0}\) \(\displaystyle{ xy - y + x + 1 -2= -2}\) \(\displaystyle{ xy - y + x -1= -2}\) \(\displaystyle{ (x - 1)(y + 1)=-2}\) Mogą zajść przypadki \(\displaystyle{ \begin{cases} x - 1=-1 \\ y + 1=2 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x - 1=1 \\ y + 1=-2 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x - 1=-2 \\ y + 1=1 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x - 1=2 \\ y + 1=-1 \end{cases}}\) bastun Użytkownik Posty: 53 Rejestracja: 7 maja 2007, o 14:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Suwałki Podziękował: 22 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: bastun » 3 paź 2011, o 21:14 A co z wynikami podanymi w odpowiedzi? anna_ Użytkownik Posty: 16299 Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14 Płeć: Kobieta Podziękował: 29 razy Pomógł: 3235 razy Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Post autor: anna_ » 3 paź 2011, o 21:15 Rozwiąż te układy, które podałam i będzie to co w odpowiedzi. \(\displaystyle{ -2=-1 \cdot 2}\) \(\displaystyle{ -2= 1\cdot (-2)}\) \(\displaystyle{ -2= -2\cdot 1}\) \(\displaystyle{ -2= 2\cdot (-1)}\) stąd tamte układy Rozwinięcie dziesiętne ułamka Warg: Jaka cyfra stoi na 74 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka okresowego 3,(7315)? Jaki jest schemat rozwiązywania tego typu zadań? 2 kwi 12:27 Jerzy: = 3,731573157315...... = 3, 7315 7315 7315 74 = 18*4 + 2 ( będzie to druga liczba ciągu 7315 , czyli 3 ) 2 kwi 12:30 Powracający: wedlug mnie tak na 1 miejscu 7 na 2 m 3 na 3 m 1 na 4 m 5 74:4= 18+2 czyli bedzie takich pelnych 18 cykli +2 a na drugim niejsci stoi 3 wiec cyfra 3 stoi na 74 miejscu 2 kwi 12:32 Warg: Dziękuję, rzeczywiście nie takie trudne zadanie 2 kwi 12:34 Zamiana ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły, wymaga znajomości równań. Przeanalizowanie przykładu powinno wyjaśnić schemat: Zamieńmy ułamek \(0,2377777\cdots \), często można spotkać się również z postacią \(0,23(7)\), obie wersje są poprawne i przedstawiają tą samą liczbę: zapisujemy dany ułamek jako \(x\)\(x=0,23(7) \)następnie mnożymy równanie przez potęgę liczby 10 (czyli 10, 100, 1000, …) w taki sposób, aby cyfry nie będące w nawiasie stały się całościami: \(x=0,23(7) \: / \: \cdot \: 100 \)\(100x=23,(7) \)następniemnożymy przez potęgę liczby 10, wartość potęgi to ilość liczb będących w nawiasie: \(100x=23,(7) \: / \: \cdot \: 10\)\(1000x=237,(7) \)odejmujemy równania stronami i rozwiązujemy: \(1000x-100x=237,(7)-23,(7)\)\(900x=214\)\(x=\dfrac{214}{900}\)Wykorzystujemy ten schemat zawsze przy zamianie liczb okresowych. Jeśli ktoś chce się nauczyć na pamięć sposobu, a nie zrozumieć schemat, to można sposób zamieniania zapisać w punktach. Sposób do zapamiętania: - mamy liczbę, której okres jest zapisany w nawiasie \(0,23(7)\), - zapisujemy liczbę z wszystkich cyfr, jakie mamy - \(237\). Od tej liczby odejmujemy liczbę utworzoną z cyfr nie będących w nawiasie \(23\). Wyliczona wartość to licznik. - tworzymy liczbę, która składa się z dziewiątek i z zer. Ilość dziewiątek to ilość cyfr w nawiasie naszej liczby, natomiast ilość zer to liczba cyfr między nawiasem a przecinkiem w danej liczbie. Otrzymana liczba to mianownik. Przykład: \(0,23(7) =\dfrac{237-23}{900}=\dfrac{214}{900}\) Przykładowe zadaniaZad. 1) Zamień ułamek okresowy, na ułamek zwykły: a) \(0,6(6)\)b) \(0,(15)\)c) \(0,1(22)\)d) \(0,0(13)\)e) \(0,(8)\) Zobacz rozwiązanie Zad. 2) Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły bez stosowania równań: a) \(0,9(663)\)b) \(0,(3)\)c) \(6,112(5)\)d) \(0,86(461)\)e) \(0,6(4229)\)f) \(0,607(91)\) Zobacz rozwiązanie Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr, choć czasem może to być bardzo długi ciąg. Rozwinięcie dziesiętne skończone, to postać dziesiętna ułamka zwykłego, którego można rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z potęg liczby $10$. Przykłady $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = $\frac{13}{25} = \frac{52}{100} = Liczby wymierne dopuszczają dziesiętne rozwinięcie okresowe. Podział licznika przez mianownik daje w wyniku takie same cyfry w identycznym porządku. Takie nieskończone rozwinięcie dziesiętne nazywamy rozwinięciem okresowym. Powtarzającą się cyklicznie grupę cyfr nazywamy okresem. W zapisie rozwinięcia, okres wyróżniamy nawiasem. $\frac{1}{3} = = 0.(3)$ $\frac{9}{11} = = 0.(81)$ $\frac{7}{15} = = Inaczej dzieje się w przypadku liczb niewymiernych. Żadna liczba niewymierna nie może zostać zapisana za pomocą dziesiętnego rozwinięcia okresowego. Ta niemożność wyrażnie ukazuje zasadniczą różnicę między liczbami wymiernymi a niewymiernymi. Kiedy liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego? Liczbę można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną i w rozkładzie mianownika (ułamka skróconego) na czynniki pierwsze, występują wyłącznie liczby $2$ lub $5$. Przykłady Ułamek $\frac{3}{4}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $4 = 2 \cdot 2$ Ułamek $\frac{7}{20}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ Ułamek $\frac{4}{25}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $25 = 5 \cdot 5$ Ułamek $\frac{5}{12}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ Ułamek $\frac{1}{14}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $14 = 2 \cdot 7$ Ułamek $\frac{2}{15}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $15 = 3 \cdot 5$

rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych ułamki okresowe